4-4 时钟佯谬

时钟佯谬的进一步说明
    首先，我们用狭义相对论来讨论在系中观察时钟的运动。如图4-16所示，时钟经历了三个阶段，它先静止于系中，系以匀速相对于系沿轴正方向运动。当时钟与系上的时钟相遇后，开始减速，运动到点时速度减至零。然后转向、加速，当运动到与时钟相遇时，速度又增至，在这一阶段，时钟静止于非惯性系中。在此之后，时钟静止于系中。当时钟处于、系中时，因、系都是惯性系，可以直接利用洛仑兹变换。由于无论在系或系中，从系看来时钟都是一个



图 4-16
运动的时钟，故它的读数都比系的时钟小。设在第一、第三阶段，时钟所记录的时间间隔分别为和，相应地系上的时钟所记下的时间间隔分别为和，则应有
（4-4-1)
（4-4-2)
    

现在讨论时钟处于加速状态的第二阶段，在这一阶段，由系所得的时间间隔为，相应地在系中的时间间隔为，由于在惯性系中，时钟所走的每一小段距离（充分小）范围内可对应一瞬时惯性系，即加速参考系可分解为许多个瞬时惯性系，每一瞬时惯性系与系相对应，都存在间隔不变性，即

        

式中，为间隔，为系中时钟走距离所用的时间，为相应的瞬时惯性系中所记下的时间间隔（固有时），而

（4-4-3)

即瞬时惯性系（或时钟）对系的速度大小，于是得

（4-4-4)

而

（4-4-5)
（4-4-6)

请注意，式（4-4-5）中为变量，其变化范围从0到。很明显，由式（4-4-5）与式（4-4-6）对比，得

（4-4-7)

应当指出，在惯性系中观察时，加速或减速过程对时钟速率不产生影响，这已被许多实验所证实，所以式（4-4-4）和式（4-4-6）是正确的。
显然，，，所以
很容易做到，使、远比、为小，以及、。则有，如果取，当年时，年。这就是说，当飞船的宇宙航行速度大小为时，如果留在地球上的甲过了50年，则飞船上的乙却只过了22年。
    需要说明的是：为了更有说服力，还应讨论在时钟静止的参考系上观察时钟的运动，这必然遇到在非惯性系上观察时钟的运动，这已超出狭义相对论的范围，必须用广义相对论来处理。

如图4-16所示，第一阶段是在惯性系上观察时钟的运动，第三阶段是在惯性系上观察时钟的运动。只有第二阶段是在非惯性系上观察时钟的加速运动。
    在第一阶段和第三阶段，时钟为一个运动的时钟，由各惯性系的等价性，可得

（4-4-8)
（4-4-9)

由此可见，在第一、三阶段，时钟所记录的时间间隔都比时钟所记录的时间间隔小，这是合理的。关键问题是在第二阶段，根据广义相对论，可证明在此阶段内时钟所记录的时间间隔比时钟所记录的时间间隔小得多。总计之后，仍可得到的结论。