1. 质量和速度的关系

由于狭义相对论时空观的建立，洛伦兹变换代替了伽利略变换。我们知道，经典力学定律在伽利略变换下形式不变，然而这些定律在洛伦兹变换下不再是形式不变的，也就是说，经洛伦兹变换后，这些定律在不同惯性系中具有不同的形式。因此，必须对经典力学加以改造，使得新的力学规律在洛伦兹变换下保持形式不变，以满足狭义相对论的相对性原理。由于牛顿定律在低速（）情况下已在很高精度上被证明是正确的，所以新的力学规律必须在低速（）条件下与牛顿定律相一致。

本节将从几个守恒定律出发，根据狭义相对论时空观的基本结论来得到诸如质量、能量和动量这些重要物理量在狭义相对论领域中的表示式以及它们之间的关系。大量实验事实表明，动量守恒定律、能量守恒定律和质量守恒定律是自然界普遍遵守的规律，这是以下讨论的基本前提。

经典力学中，物体的质量被认为是常量，与参考系无关。如果一物体受到恒力作用，那么该物体所获得的加速度也是恒定的。这样，该物体的速度将不断增加。只要加速时间足够长，最后总可以超过真空中的光速。这是与狭义相对论关于真空中的光速是一切运动物体的极限速度的论断相冲突的。因此，经典力学中的质量概念必须按照狭义相对论的要求做必要的修改。

如果物体在高速运动时，质量随着速度的增大而迅速增大，那么速度越大时，它的加速度就越小，即物体难于加速，这样就有可能存在一个速度的极限——真空中的光速。1901年，考夫曼（W. Kaufmann）就已经从放射性镭放出的高速电子流（射线）实验中发现了电子质量随速度增大而增大的现象。此后的大量近代物理实验都证实了物体的质量与物质的运动状态有关。因此，在狭义相对论中，物体的质量不是常量而与速度有关。下面我们通过一个特殊的力学过程来导出质量和运动速度之间的关系。

图4-19

设有两个惯性系和，系相对于系以速度沿方向运动。在系上有两个全同粒子，它们以速度相向运动并做完全非弹性对心碰撞，碰撞后变为静止的复合粒子。如图4－19（a）所示。在系上观察同一过程，碰撞前两粒子的速度可由速度变换公式得

粒子1的速度

       （4-22）

粒子2的速度

由此可见，在系上观察时，粒子1以速度运动，设其质量为；粒子2静止，其质量为静止质量，用表示。两粒子碰撞后的复合粒子相对于系静止，因此相对于系以速度运动，设其质量为，如图4－19（b）所示。狭义相对论中的动量仍定义为质量与速度的乘积，即

根据动量守恒定律和质量守恒定律，有

由上两式消去得

                                       （4-23）

由式（4-23）我们可以看到，质量是速度的显函数。

由式（4-22）并考虑到，可得

解上述方程得

在经典力学的情况下（），，故上式应取负号（由于），即

于是

        =

               =

则

把上式代入式（4-23）得

                               （4-24）

式（4-24）称为质量与速度的关系式。式中为物体的静止质量，为物体相对于观察者以速度运动时的质量。式（4-24）是通过一个特殊的力学过程导出的，但它是普遍适用的。

由质量和速度的关系式可知：物体的质量随着物体运动状态的变化而变化，物体在运动时，它的质量大于它的静止质量，而且速率愈大，质量也就愈大。另外，由于同一物体的速度相对于不同参考系是不同的，因而不同惯性系上的观察者所测得的这一物体的质量也将是不同的。

2．相对论力学的基本方程

因为质量是随着速度而变化的，因而在狭义相对论中，力学的基本方程不能再取的形式，而是写成如下形式

                       （4-25）

式中、和是在同一惯性系中的观测值。式（4-25）是相对论力学的基本方程。

由式（4-25）可知，质点在恒力作用下，其加速度并不恒定。由于质量随速度的增大而增大，因此，当速度时，，这时无论质点受到多大的力，加速度。所以不可能把质点加速到超过真空中的光速。

由式（4-25）我们还可以看到，当时，该方程还原为牛顿第二定律

3. 质量和能量的关系

将经典力学中功的定义推广到狭义相对论中，即力对质点所做的元功定义为作用在质点上的力与质点在力的作用方向上的位移的乘积。

                                    （4-26）

如果全部功都用于增加质点的动能，则动能的增量为

                           （4-27）

式中是质点的速度。

式（4-27）可改写为

                                    （4-28）

把式（4-25）代入式（4-28），得

                              （4-29）

由，得

                         （4-30）

又                  （4-31）

将式（4-30）、（4-31）代入式（4-29），得

积分后，得

                                 （4-32）

式中是积分常数，当时，动能，则＝－，将其代入式（4-32），得

                            （4-33a）

或

                                （4-33b）

现在我们求低速时的表达式，用二项式定理把展开，则式（4-33a）变为

当时，，此式恰为经典力学中质点动能表达式。由此可见，动能表达式（4-33）在低速（）条件下与经典力学中的定义相一致。

式（4-33）表明，静止质量为的物体以速度运动时，其动能为与两项之差，可见，和也具有能量的含义，爱因斯坦从这里引入了经典力学中从未有过的独特见解，把称为物体的静止能量，把称为物体的总能量，分别用和表示。

                                    （4-34）

                                      （4-35）

上式称为物体的质能关系式。

根据式（4-35），当某一物体的质量发生变化时，必然伴随着能量的变化，反过来也是一样的。关系式是

                                    （4-36）

质能关系式已为许多精确的实验所证实，已成为近代物理中极为重要的基本关系式。

由于是个极大的量，因而各种物体都具有极大的静止能量。例如1千克静止质量的任何物体，它具有的静止能量

这是一个相当惊人的数字，大约相当于，可供100W的灯泡点天以上，即大约三千万年，比整个人类历史还要长得多！问题在于，直到目前，人类还无法有效地利用静止能量。各种能源，大多只是利用静止能量中微不足道的一小部分。

人们正是通过质能关系式才知道利用原子核反应可以得到巨大的能量。当重元素在分裂成两个或两个以上较轻的原子核时，这些较轻原子核的静止质量的总和将比原来重元素核的静止质量要小，这种现象称为质量亏损。由于在核裂变过程中总质量仍然是守恒的，质量亏损现象意味着一部分静止质量转变成了外界的运动质量。根据质能关系，原来重原子核的静止能量也就要有相应的一部分被释放到外界，转变成可以利用的各种形式的能量，如机械能、热能和多种形式的辐射能。另外，当最轻的原子核聚合时，也会发生质量亏损，对于相同质量的核物质（与核裂变过程比较）将会放出更多的能量。这种能量称为核聚变能量。

4．动量和能量的关系

根据动量的表示式和质能关系式，可以得到狭义相对论中的另一个重要关系式——动量和能量之间的关系式。

将两边各自点积再乘以得

上式两边同时加上项，得

因此

                          （4-37）

这就是狭义相对论中动量和能量的关系式。