7-4 静电场的环路定理 电势  

前面从电荷在电场中受到电场力这一事实出发，引入了电场强度作为描述电场特性的物理量。本节我们将从电场力作功的特点入手，揭示静电场是一个保守力场，可以引入电势能的概念，并用电势来描述电场的特征。

1. 静电场力作功

设有一点电荷 q 固定在O 点处，在 q 产生的电场中，有一试探电荷从a 点(径矢为)经过任意路径acb 移动到达b点(径矢为)。如图7-16所示，当试探电荷从a 点移到b 点时，电场力所作的功为
(7-23)
     式中和分别表示从点电荷q所在处到路径的起点和终点的距离。式(7-23)表明，在静止点电荷q的电场中，电场力对试探电荷所作的功与路径无关，而只与路径的起点和终点位置有关。如果试探电荷在点电荷系、、…、的电场中移动，它所受到的电场力等于各个点电荷的电场力的矢量和，即

        
    由于合力所作的功等于各分力所作的功的代数和，因此试探电荷在点电荷系电场中从a点经过任意路径acb到达b点时，电场力所作的功等于各个点电荷的电场力、、…、所作功的代数和。上面已经证明了在点电荷的电场中，电场力的功与路径无关，故各项之和也应与路径无关，即

图 7-16 电场力所作的功与路径无关
(7-24)
式中与分别为电荷到a点和b点的距离。由于任何静电场都可看做是点电荷系中各点电荷的电场的叠加，因而得出结论：试探电荷在任何静电场中移动时，电场力所作的功只与这试探电荷的大小以及路径的起点和终点的位置有关，而与路径无关。

2. 静电场的环路定理

上述结论与力学中保守力作功的分析完全一样。对保守力作功的特征还可用另一种形式来表达。设试探电荷在电场中从某点出发，经过闭合路线L又回到原来位置，由式(7-23)和式(7-24)可知电场力作功为零，亦即
            
    因为试探电荷≠0，所以上式也可写作
(7-25)
上式的左边是电场强度沿闭合路径的线积分，也称为电场强度的环流，因此，静电场力作功与路径无关这一性质，又可表达为电场强度的环流等于零，它是反映静电场基本特性的又一个重要规律，称为电场强度环路定理。任何力场，只要具备电场强度的环流为零的特性，就叫做保守力场或叫做势场。因此静电场是保守力场。

3. 电势

如上所述，静电场与重力场相似，都是保守力场，对这类力场都可以引进势能的概念。因此，在讨论静电场的性质时，也可以认为电荷在电场中一定的位置处，具有一定的电势能，并把电场力对试探电荷所作的功作为在a、b两点电势能改变的量度。设以和分别表示试探电荷在起点a和终点b处的电势能，则
(7-26)
静电势能也与重力势能相似，是一个相对的量。为了确定电荷在电场中某一点势能的大小，必须选定一个作为参考的电势能零标度。零标度的选择也与力学中势能零点的选取一样可以是任意的。在通常的情况下，对于有限的带电体，我们常选定电荷在无限远处的静电势能为零，亦即令，由此电荷在电场中a 点的静电势能为
(7-27)
即电荷在电场中某一点a处的电势能在数值上等于从a点处移到无限远处电场力所作的功。
    应该指出，与重力势能相似，电势能也是属于一定系统的。式(7-27)反映了电势能是试探电荷与场源电荷所激发的电场之间的相互作用能量，故电势能是属于试探电荷和电场这个系统的。电势能与电场的性质有关，也与引入电场中试探电荷的电荷量有关，它并不能直接描述某一给定点a处电场的性质。但比值却与无关，只决定于场中给定点a处电场的性质，所以我们用这一比值来作为表征静电场中给定点电场性质的物理量，称为电势，用表示a点的电势，即
(7-28)
在式(7-28)中，当取试探电荷为单位正电荷时，和等值，这表示静电场中某点的电势在数值上等于单位正电荷放在该点处时的电势能，也等于单位正电荷从该点经过任意路径到无限远处时电场力所作的功。电势是标量，但相对于电势的零标度讲却有正或负的数值。
    在国际单位制中，电势的单位是J／C，称为伏特(V)。如果有1C的电荷量在电场中某点处所具有的电势能是1J，这点的电势就是1V。在静电场中，任意两点a和b的电势差，通常也叫做电压，用公式表示为
(7-29)
它表明，静电场中a、b两点的电势差，等于单位正电荷在电场中从a点经过任意路径到达b点时电场力所作的功。因此，当任一电荷在电场中从a点移到b点时，电场力所作的功可用电势差表示为
(7-30)
在实际应用中，常常知道两点间的电势差，因此式(7-30)是计算电场力作功和计算电势能增减变化常用的公式。一个电子通过加速电势差为1V的区间，电场力对它作功
            A= eU =1.60×10 -19C×1V=1.60×10-19J
    电子从而获得1.60×10-19J的能量。在近代物理中，常把这个能量值作为一种能量单位，而称之为电子伏，符号为eV,即
1eV=1.60×10-19J
 (7-31)

微观粒子的能量往往很高，常用兆电子伏(MeV)、吉电子伏(GeV)等单位。其中1MeV=106eV，1GeV=109eV。
    和电势能的零点的选取一样，电势零点的选取也是任意的，可以由我们处理问题的需要而定。在理论上，计算一个有限大小的带电体所激发的电场中各点的电势时，往往选取无限远处一点的电势为零。但在许多实际问题中，常常以地球的电势为零，其他带电体的电势都是相对地球而言的。这样的规定有很多方便之处：一方面可以在任何地方都能方便地和地球比较而确定各个带电体的电势；另一方面，地球是一个半径很大的导体，在这样一个导体上增减一些电荷对其电势的影响是很小的(参看§7-7)，因此地球的电势比较稳定。在工业上，消除静电的重要措施之一就是“接地”，这使带电体的电势和地球一致，带电体上的电荷就会传到地球上去而不会一直积累起来。为了安全用电，实验室中和工厂企业中很多电气设备和仪器(如马达、示波器等)的外壳在使用时也都接地，这样可防止当电气设备因绝缘不良而使外壳带电时引起的触电事故。

4. 电势的计算

已知电荷分布，求电势的方法有两种：一种是若已经知道了电场强度的分布函数，那么就可以直接应用电势的定义式（7-28）作一积分运算（但电荷分布到无限远时，则不能取无限远为零电势点，见例题7-14）；另一种方法是根据电势的叠加原理求出任意电荷分布的电势。下面就后一种方法作进一步的讨论。

（1）点电荷电场中的电势
    设点电荷q静止于坐标系的原点，则距q为r处P点的电势，由式(7-28)和式(7-27)可知是
       
    由式(7-23)可知
            
     将代入上式，求得
(7-32)
由此可见，在点电荷周围空间任一点的电势与该点离点电荷q的距离r成反比。如果q是正的，各点的电势是正的，离点电荷愈远处电势愈低，在无限远处电势为零；如果q是负的，各点的电势也是负的，离点电荷愈远处电势愈高，在无限远处电势最大为零值。

（2）点电荷系电场中的电势
    如果电场由n个点电荷、、…、所激发，某点P的电势由电场强度叠加原理可知为

(7-33)
式中是P点离开点电荷的相应的距离。上式表明，在点电荷系的静电场中，某点的电势等于每一个点电荷单独在该点所激发的电势的代数和。电势的这个性质称为电势的叠加原理。

（3）连续分布电荷电场中的电势
    如果静电场是由电荷连续分布的带电体所激发，要求某点P的电势，可以根据电势叠加原理将带电体分成许多电荷元dq，每个电荷元在P点的电势按式(7-33)计算，那么整个带电体在P点的电势为

(7-34)

根据电荷是体分布、面分布或线分布等不同情况将积分遍及整个带电体。因为电势是标量，这里的积分是标量积分，所以电势的计算比电场强度的计算较为简便。

应该注意，在式(7-32)、式(7-33)和式(7-34)的计算式中，电荷都是分布在有限区域内的，并且是选择无限远处为电势的零点.但当激发电场的电荷分布延伸到无限远时，不宜把电势的零点选在无限远处，否则将导致场中任一点的电势值为无限大，这时只能根据具体问题，在场中选某点为电势的零点，下例就是这种情况。

5. 等势面

前面我们曾介绍用电场线来形象地描述电场中各点的电场强度的情况，现在我们说明如何用电势的图像来形象地表示电场中的电势分布情况。一般说来，静电场中各点的电势是逐点变化的，但是场中有许多点的电势值是相等的。把这些电势值相等的各点连起来所构成的曲面叫做等势面。
    我们从点电荷的静电场开始，研究等势面的性质。已知在点电荷q的电场中，与电荷q相距为r处的各点的电势是
            
    由此可见，r 相同的各点电势相等，所以在点电荷电场中，等势面是以点电荷为中心的一系列同心球面，如图7-17(ａ)中虚线所示。我们知道，点电荷电场中的电场线是由正电荷发出(或向负电荷会聚)的一系列直线，显然，这些电场线(沿半径方向)与等势面(同心球面)处处正交，电场线的方向指向电势降落的方向。

图 7-17 两种电场的等势面和电场线图

图 7-18 等势面与电场线正交的证明
电场线和等势面之间处处正交这一结论，不仅在点电荷的电场中成立，在任何带电体的电场中都成立，可证明如下。如图7-18所示，设试探电荷在某等势面上的P点沿等势面作一微小的位移dl到达Q点，这时，电场力所作的功为
（7-34）
式中E是PQ范围内电场强度的量值，θ是和之间的夹角。这功也等于P、Q两点的电势差乘以。因为P、Q两点在同一等势面上，，所以
      
    式中、E、dl都不等于零，必然是cosθ = 0,即θ = 90°,这说明电场强度垂直于，由于是等势面上的任意位移元，因此，电场强度与等势面必定处处正交。总之，在静电场中，电场线和等势面是相互正交的线族和面族。
    同电场线一样，我们也可以对所绘的等势面的疏密作一些规定，使它们也能表示出电场中各处电场的强弱。这个规定是：画一系列等势面时，使任何两个相邻等势面间的电势差都相等。按这一规定，在图7-17中绘出了点电荷和电偶极子电场的等势面和电场线图。图中的虚线表示等势面，实线表示电场线。从图中可以看到等势面愈密处电场强度愈大，等势面愈疏处电场强度愈小，由此就能将电场中电场强度与电势之间的关系直观地表示出来。