9-1 电磁感应定律

1．电磁感应现象

首先用几个典型的电磁感应演示实验来说明什么是电磁感应现象，以及产生电磁感应的条件。

如图9-1所示，一个线圈与电流计的两端接成闭合回路，因为这个电路中没有电源，所以电流计指针不会发生偏转。可是，当用一条形磁铁棒的极（或极）插入线圈时，可以观察到电流计指针发生偏转，表明线圈中有电流通过，这种电流称为感应电流。当磁铁棒与线圈相对静止，电流计指针不动。如果把这磁铁棒从线圈中抽出时，电流计指针又发生偏转，但这时电流计指针偏转的方向相反，表明线圈中的感应电流方向与磁铁棒插入线圈时的方向相反。如果我们固定磁铁棒，而把线圈推向或拉离磁铁棒，可以观察与上面一样的现象。实验表明：只有当磁铁棒与线圈间有相对运动时，线圈中才会有感应电流，相对运动的速度越大，感应电流也越大。

图 9-1

又如图9-2所示，两个彼此靠得较近但相对静止的线圈，线圈1与电流计相连，线圈2与变阻器相连接。当线圈2中的电路接通、断开的瞬间或改变电阻器时，可以观察到电流计指针发生偏转，即在线圈1中出现感应电流。即只有在线圈2中的电流发生变化时，才能在线圈1出现感应电流。
    如果在图9-2的线圈2中加一铁磁性材料作芯子，重复上述实验，将会发现线圈1中的电流大大增加，说明上述现象还受到介质的影响。


图 9-2

将一根与电流计连成闭合回路的金属棒放置在磁铁的两极之间，如图9-3所示，实验表明，当棒在两极之间的磁场中垂直于磁场和棒长的方向运动时，电流计的指针就会发生偏转，即在回路中出现感应电流。棒运动得越快，电流计指针的偏转角也越大；当棒停止运动，电流计的指计也停止偏转，回路中没有感应电流。


图 9-3

在实验1和2中，不管是磁铁棒与线圈作相对运动，还是相对静止的两个线圈中一个电流发生变化，它们共同的特点是：产生感应电流的线圈所处在的磁场发生了变化。但是，在实验3中，磁场是静止的，且在棒运动的范围内均匀分布，运动棒所在处的磁场并没有变化，棒的运动只是使它和电流计连成的回路面积有了变化，结果在回路中同样能产生感应电流。仔细分析以上的三个实验，可概括出一个能反映其本质的共同因素，那就是：它们都使穿过回路所围面积内的磁通量发生了变化。由此可得如下结论：当穿过一个闭合导体回路所包围的面积内的磁通量发生变化时，不管这种变化是什么原因引起的，在导体回路中就会有感应电流。这种现象称为电磁感应现象。必须注意，由于在线圈中插人铁芯后，线圈中的感应电流大大增加，这又说明感应电流的产生是因为磁感应强度通量的变化，而不是由于磁场强度通量的变化。

2．楞次定律

1833年，楞次（Lenz）在进一步概括了大量实验结果的基础上，得出了确定感应电流方向的法则，称为楞次定律。这就是：闭合回路中产生的感应电流具有确定的方向，它总是使感应电流所产生的通过回路面积的磁通量，去补偿或者反抗引起感应电流的磁通量的变化。
    在上述实验1中，当磁铁棒以极插向线圈或线圈向磁棒的极运动时，通过线圈的磁通量增加，感应电流所激发的磁场方向则要使通过线圈面积的磁通量反抗线圈内磁通量的增加，所以线圈中感应电流所产生的磁感应线的方向与磁棒的磁感应线的方向大体相反〔图9-4(a）中的虚线］。再根据右手螺旋定则，可确定线圈中感应电流的方向如图中的箭头所示。当磁铁棒拉离线圈或线圈背离极运动时，通过线圈面积的磁通量减少，感应电流的磁场则要使通过线圈面积的磁通量去补偿线圈内磁通量的减少，因而，它所产生的磁感应线的方向与磁棒的磁感应线的方向大体相同［图9-4(b）中的虚线］，感应电流的方向与上面相反，如图中箭头所示。

图 9-4 (a)

图 9-4 (b)

图 9-5

其他两个演示实验也可以用同样的分析方法来确定感应电流的方向。
    楞次定律实质上是能量守恒定律的一种体现。在上述例子中可以看到，当磁铁棒的极向线圈运动时，线圈中感应电流所激发的磁场分布相当于在线圈朝向磁铁棒的一面出现极（图9-5中所画的线圈是它的剖面图），它阻碍磁铁棒作相对运动。因此，在磁铁棒向前运动过程中，外力必须克服斥力而做功；当磁铁棒背离线圈运动时，则外力必须克服引力而做功。这时，给出的能量转化为线圈中感应电流的电能，并转化为电路中的焦耳-楞次热。反之，如果设想感应电流的方向不是这样，它的出现不是阻止磁铁棒的运动而是使它加速运动，那么只要我们把磁铁棒稍稍推动一下，线圈中出现的感应电流将使它动得更快，于是又增长了感应电流，这个增长又促进相对运动更快，如此不断地相互反复加强，所以只要在最初使磁铁棒作微小移动中作出微量的功，就能获得极大的机械能和电能，这显然是违背能量守恒定律的。所以，感应电流的方向遵从楞次定律的事实表明楞次定律本质上就是能量守恒定律在电磁感应现象中的具体表现。

3．法拉第电磁感应定律

法拉第对电磁感应现象作了定量的研究，总结出了电磁感应的基本定律。其实，感应电流只是回路中存在感应电动势的对外表现，由闭合回路中磁通量的变化直接产生的结果应是感应电动势。所以法拉第用感应电动势来表述电磁感应定律，叙述奴下：
    通过回路所包围面积的磁通量发生变化时，回路中产生的感应电动势 与磁通量对时间的变化率成正比。如果采用国际单位制，则此定律可表示为
（9-1）

在约定的正负符号规则下，式中的负号反映了感应电动势的方向，它是楞次定律的数学表现。


(a) 为正值，

(b) 为正值，

(c) 为负值，

(d) 为负值，
图 9-6

由式（9-1）确定感应电动势式的方向的符号规则如下：在回路上先任意选定一个方向作为回路的绕行正方向，再用右手螺旋法则确定此回路所围面积的正法线单位矢量的方向，如图9-6所示；然后确定通过回路面积的磁通量的正、负，凡穿过回路面积的的方向与正法线方向相同者为正，相反者为负；最后再考虑的变化，从式(9-1)来看，感应电动势0的正、负只由决定。在图9-6中，（a）、（c）图中值在增大，（b）、（d）图中值在减小，这样对图（a）、（b），，其中图（a），则，表示感应电动势的方向和回路上选定正方向相反；其中图（b），则，表示感应电动势的方向和回路上选定正方向相同。对于图（c）、（d）的情况可作同样的讨论。用这种方法确定感应电动势方向的方法和用楞次定律确定的方向完全一致，但在实际问题中用楞次定律来确定感应电动势的方向比较简便。
    应该指出，以上所讨论的都是由导线组成的单匝回路，如果回路是由匝导线串联而成，那么在磁通量变化时，每匝中都将产生感应电动势。如果每匝中通过的磁通量都是相同的，则匝线圈中的总电动势应为各匝中电动势的总和，即

（9-2）

习惯上，把称为线圈的磁通量匝数或磁链。如果每匝中的磁通量不同，就应该用各圈中磁通量的总和来替代。
    如果闭合回路的电阻为，则在回路中的感应电流为

（9-3）

利用式，可以算出在到这段时间内通过导线的任一截面的感生电荷量为

（9-4）

式、分别为、时刻通过导线回路所包围面积的磁通量。式(9-4)表明，在一段时间内通过导线截面的电荷量与这段时间内导线回路所包围的磁通量的变化值成正比，而与磁通量变化的快慢无关。如果测出感生电荷量，而回路的电阻又为已知时，就可以计算磁通量的变化量。常用的磁通计就是根据这个原理而设计的。
    最后，据电动势概念可知，当通过闭合回路磁通量变化时，在回路中出现某种非静电力，感应电动势就等于移动单位正电荷沿闭合回路一周这种非静电力所作的功。如果用表示等效的非静电场强，则感应电动势0可表为：

        
    又因通过闭合回路所围面积的磁通量为，于是法拉第定律又可表示为积分形式

（9-5）

式中积分面是以闭合回路为边界的任意曲面。

4．感应电动势分类

法拉第电磁感应定律告诉我们，只要通过回路所围面积的磁通量发生变化，回路中就会产生感应电动势。由式可知，使磁通量发生变化的方法是多种多样的，但本质上讲，可归纳为两类：一类是磁场保持不变，导体回路或导体在磁场中运动——此时回路中的感应电动势称为动生电动势；另一类是导体回路不动，磁场发生变化——此时回路中的感应电动势称为感生电动势。我们将分别讨论上述两类情况下感应电动势的本质以及电磁感应定律在各种特殊情形中的应用。