1．机械波的多普勒效应
我们前面所讨论的波源（或说接收器），相对于介质都是静止的。但是在日常生活和科学观测中，经常会遇到波源或观察者相对于介质而运动的情况。例如，火车汽笛的音调，在接近观察者时比其远离时为高。这种因波源或视察者相对于介质的运动，而使观察者接收到的波的频率有所变化的现象是由多普勒(J.C.Doppler)在1842年首先发现的，故称为多普勒效应。下面就来分析这一现象。
为简单起见，我们假定波源、观察者的运动发生在二者的连线上，设波源相对于介质的运动速度为 ，观察者相对于介质的运动速度为 ，以 表示波在介质中传播的速度。波源的频率、观察者接收到的频率和波的频率分别用 、 、 表示。只有当波源和观察者相对介质静止时，三者是相等的。现在分别讨论三种情况。
(1）波源不动，观察者以速度相对于介质运动。
由于波源在介质中静止，所以波的频率就等于波源的频率，=，因而有
所以观察者向波源运动时所接收到的频率为波源频率的 倍。
当观察者远离波源运动时，按类似的分析，可得观察者接收到的频率为
即此时接收到的频率低于波源的频率。综合（11-64)、（11-65)两式，只要将理解为代数值，并且规定，观察者接近波源时为正值；远离波源时为负值，则当波源不动，现察者以相对波源运动时所接收到的频率可统一表示为
(2)观察者不动，波源以速度相对于介质运动。
波源在运动中仍按自己的频率发射波，在一个周期 内，波在介反中传播了距离 ，完成了一个完整的波形。设波源向着观察者运动。在这段时间内，波源位置由 移到 ，移过距离 （图11-27a）。由于波源的运动，介质中的波长变小了，实际波长为
图11-27 |
相应地，波的频率为
由于观察者静止，所以他接收到的频率就是波的频率，即
此时观察者接收到的频率大于波源的频率。
当波源远离观察者运动时，介质中的实际波长
按类似的分析，可得观察者接收到的频率为
这时观察者接收到的频率低于波源的频率。
同样地，如果将理解为代数值，并规定波源接近接收器时为正值，远离接收器时为负值，则（11-66)、（11-67)两式可统一表示为
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（11-68） |
图11-27(b)表示波源在移动时每个波动造成的波阵面，其球面不是同心的。从图上可以清楚地看出，在波源运动的前方波长变短，后方波长变长。
（3）观察者与波源同时相对介质而运动。
根据以上的讨论，由于波源的运动，介质中波的频率为
由于观察者的运动，观察者接收到的频率与波的频率之间的关系为
代入上式得观察者接收到的频率为
当波源和观察者相向运动时，和均取正值；当波源和观察者相背运动时，和均为负值。
如果波源和观察者是沿着它们的垂直方向运动，则不难推知 ， 即没有多普勒效应发生。又如果波源和观察者的运动是任意方向的，那么只要将速度在连线上的分量代入上述公式即可。不过随着两者的运动，在不同时刻和的分量也不同，这种情况下接收到的频率将随着时间变化。
2．电磁波的多普勒效应
多普勒效应是波动过程的共同特征。不仅机械波有多普勒效应，电磁波（包括光波）也有多普勒效应。因为电磁波的传播不依赖弹性介质，所以波源和观测者之间的相对运动速度决定了接收到的频率。电磁波以光速传播，在涉及相对运动时必须考虑相对论时空变换关系。计算证明，当波源和观测者在同一直线上运动时
式中 表示波源和接收器之间相对运动的速度，当波源与观测者相互接近时，取正值；当波源与观测者相互远离时，取负值。前者接收到的频率比发射频率高，称为紫移；后者接收到的频率比发射频率低，称为红移。
电磁波和光的多普勒效应有着广泛的应用。
3．冲击波
当波源运动的速度超过波的速度时，式（11-67）的计算结果（<0)将没有意义。这时波源将位于波前的前方。如图11-28所示。当波源在 位置时发出的波，在其后 时刻的波阵面为半径等于 的球面，但此时刻波源已前进了 的距离到达 位置，在整个时间内，波源发出的波的各波前的切面形成一个圆锥面，这锥形的顶角满足
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随看时间的推移，各波前不断扩展，锥面也不断扩展，这种以点波源为顶点的圆锥形的波称为冲击波。 通常称为马赫数， 称为马赫角。锥面就是受扰动的介质与未受扰动的介质的分界面，在两侧有着压强、密度和温度的突变。
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图11-28 |
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（图11-26），因而这时在单位时间内观察者所接收的完全波的数目为
