1．能带的形成

下面我们讨论电子在晶体中运动时的“能级”——能带的形成。

  

图15-6 原子和晶体的势场

我们知道孤立原子的能级是分立的，电子在各个能级上的分布遵从泡利不相容原理。单个原子的势能曲线如图15-6(a）所示。例如一个孤立铜原子的29个电子按如下规律填充各个能级：

当两个铜原子靠近时，每个价电子将逐渐感觉到另一个原子的存在，当两个铜原子靠得很近时，外层电子的波函数将会重叠起来，每个价电子同时受到两个离子电场的作用，能量发生少许的变化，这时势能曲线如图15-6(b)中的实线所示。准确地讲，这时并不是两个孤立的原子，而是具有58个电子的双原子系统，原来的每一个能级分裂为两个，电子的填充仍然服从泡利不相容原理。当个原子有规则排列而形成晶体时，晶体内形成了如图15-6(c）的周期性势场，使原来处于同能级上的电子不再具有相同的能量，而处于个相互靠得很近的新能级上。或者说，原来一个能级分裂成个很接近的新能级。由于晶体中原子数目非常大，所形成的个新能级中相邻两能级间的能量差很小，其数量级为 ，几乎可以看做是连续的。因此，个新能级具有一定的能量范围，通常称它为能带。对于金属铜，有带、带、带等图15-7）。

 
图15-7 晶体中原子能级分裂形成晶体能带

事实上，对于能量为 的电子（如内层电子）来说[图15-6(c)]，势能曲线代表着势垒。由于小，相对来说势垒宽度就很宽了，因此，穿透势垒的概率十分微小，基本上仍可看做是束缚在各自离子的周围。对于具有能量较大（例如）的电子（如价电子），其能量超过了势垒的高度，完全可以在晶体中自由运动，而不受特定离子的束缚。还有一些能量大于的电子，虽不能越过垒高度，但却可以通过隧道效应面进人相邻的原子中去。这样，晶体内便出一现了一批属于整个晶体原子所共有的电子。这种由晶体中原子的周期性排列而使价电子不再为单个原子所有的现，称为电子共有化。电子在晶体的运动，相当于共有化电子在周期性势场中的运动，通过求解周期性势场中的薛定谔方程，自然会得到电子的能量只能取一系列能带所许可得能量。

在两个相邻能带之间，可以有一个不存在电子稳定能态的能量区域，这个区域就称为禁带。

2．能带的宽度

对于一定的晶体，由于每个原子的电子越分布在内层，受到其他原子的影响越小，所以由不同壳层的电子能级分裂所形成的能级宽度各不相同，内层电子能级对应的能带很窄，而外层电子能级对应的能带较宽

上述情况可由图15-8所示的金刚石和钠晶体的能带图看出。

(a) 金刚石的能带

(b) 钠晶体的能带

3．满带、导带和价带

由上所述,能带中的能级数取决于组成晶体的原子数,每个能带中能容纳的电子数可以由泡利不相容原理确定。由于每个能级可以填入自旋相反的两个电子，则,等等能带最多只能容纳个电子。同理可知, 、等能带可容纳个电子，能带可容纳个电子等。

按照能量最小原理，电子从最低的能带开始填充（图15-9）。深层能级对应的能带是被电子填满的，对应的能带为满带；最外层价电子对应的能带为价带；该带可以是满带，也可以是被电子部分填充的；价带之上的能带没有分布电子，称这些带为空带。紧靠价带的空带又称为导带。

图15-9 晶体的能带结构图

满带中的电子不能起导电作用。下面以一维晶体为例说明：当晶体未加外电场，这时满带中的电子沿两个方向运动的电子完全对称，相互抵消，不形成电流；当晶体加上外电场时，沿着电场方向和逆着电场方向运动的电子的状态均发生变化，在外电场不是很强的情况下，电子的状态不会在不同能带间变化，只能在同一能带中不同能级变化，但该能带的状态又是被电子填满的，没有多余的状态让电子“灵活”地变化，可以严格证明，满带中电子在外电场作用下只能是在本能带中不同能级之间相互对换，结果与不加电场时电子对能级的分布相同，沿两个方向运动的电子仍然对称，对电流无贡献。

相反，如果晶体的某能带中的能级没有全部被电子填满，正反方向运动的电子各自均有空余的状态让电子灵活地变化，结果在外电场的作用下，沿两个方向运动的电子由于相对外电场的不对称性，导致了两种电子对能级的占据的不对称性，表现为正反方向电子的电流不能相互抵消，因而形成电流，这样的能带又称为导带。

如果由于某种原因（如热激发或光激发等），价带中有些电子被激发而进人空带，这时价带和空带均变为不满带而成为导带。

4．导体、半导体和绝缘体

凡是电阻率为以下的物体，称为导体，电阻率为以上的物体，称为绝缘体，而半导体的电阻率则介乎导体与绝缘体之间。硅、硒、蹄、锗、硼等元素以及硒、蹄、硫的化合物，各种金属氧化物和其他许多无机物质都是半导体。

从能带结构来看，导体：价带不满或价带与其他空带有交叠。绝缘体：价带满，且带隙大。半导体：价带满，但带隙小。为了便于比较三者的能带结构，参看图15-10。

图15-10 半导体、绝缘体和金属的能带简图

当温度接近热力学温度零度时，半导体和绝缘体都具有充满电子的满带和隔离导带与满带的禁带。半导体的禁带较窄，禁带宽度约,绝缘体的禁带较宽，禁带宽度约。由此可见，从能带结构上看，半导体与绝缘体在本质上是没有什么差别的。在任何温度下，由于电子的热运动，将使一些电子从满带越过禁带，激发到导带里去，因为导带中的能级在被热激发电子占据之前是空着的，所以电子进人导带后，半导体具有导电性。绝缘体的禁带一般很宽，所以在一般温度下，从满带热激发到导带的电子数是微不足道的，这样，它的对外表现便是电阻率很大。半导体的禁带较窄，所以在一般温度下，热激发到导带去的电子数也较多，电阻率因而较小。

导体的情况就完全不同，它和半导体之间，不仅在电阻率的数量上有所不同，而且还存在着质的区别。对于、、等金属的2s、3s、4s带是部分填满的，它们表现出导体特性。但对于二价金属，如、、等，可以推算它们的最高能带是满带，本应该是绝缘体，但实际表现出的是金属特性，原因是这些满带和它们的导带交叠在一起形成一个统一的不满宽能带，最终成为导体。