第4章  动量和角动量
【例4-1】如题图4-1a所示，斜面长5米，高3米，斜面的下端与一水平面相接，一物块从斜面上端由静止开始下滑，物块与斜面及平面的摩擦系数均为，（）。求物块从斜面顶端由静止开始下滑，滑到平面上后还能在平面上滑行多长距离？（取10）
【解】设物块滑到斜面下端的速度大小为，根据功能原理
   
得 

这里应注意的是的方向是沿着斜面的，当物块通过转角处，速度变为水平方向，物体的动量发生了改变，则必定受到外力的冲量。
参阅题图4-1b。在垂直方向（方向）应用动量原理：

由于物体通过转角处的时间很短，物体与水平面碰撞瞬间的正压力，上式可写成：
             （1）
再在水平方向（方向）上应用动量原理：
          （2）
由于  所以
        （3）
比较（2）、（3）式得：
   
由此解得，得通过转角后，物块在水平面上开始运动的速度
   
物块还能在水平面上滑行的距离，仍可用动能定理
   
得 
【例4-2】光滑的A玻璃弹子直径厘米，以速度米/秒的速度与另一原来静止的完全相同的B玻璃弹子相撞，如题图a所示。运动弹子质心速度为的方向偏离静止弹子球心距离厘米，两弹子间的恢复系数，求碰撞后两弹子各速度为多少？
   
   
【解】取两弹子碰撞瞬时球心的连线方向为轴，垂直于连心线的方向为轴。（见题图b）由题意玻璃弹子光滑，所以两弹子在方向上的相互作用力为零，A玻璃弹子在方向上的速度保持不变：
    米/秒
    在方向上，系统合外力为零，动量守恒：
   
即：
             米/秒         （1）
    又有恢复系数定义得：  
    由题意知，，上式可改写为：
    米/秒                （2）  
解（1）、（2）式得：  米/秒；    米/秒。
  由此知两球碰撞后的速度分别为：
        米/秒
        米/秒



【例4-3】试计算半径为R，顶角为的匀质扇形板的质心位置。
【解】我们先把大扇形分割成很多很小的顶角相同的小扇形，顶角很小的扇形就非常接近于三角形，三角形的质心位于中线的位置上，当顶角趋向于零时，各扇形的质心位于就分布在的圆弧上，因此我们求该扇形的质心只要求半径，张角为的匀质圆弧的质心即可。设这圆弧单位长度的质量为。

根据质心计算公式：
      
         
作为特例，如要计算匀质半圆薄板的质心，只需将，代入上式即可：
      


  
【例4-4】质量为M的人，手里拿着质量为m的物体，此人用与地平线成的速度向前跳去，当他到达最高点时，把物体以相对于自己以速度u向后抛出，问由于物体的抛出，他跳过的距离与不抛物体时相比可增加多少？
【解】方法一，如题图4-4a，取地面坐标系，用动量守恒定律求解：
人不向后抛出物体，所能跳过的距离：
   
式中T为人跳离地面的时间。
由：
解得：  （  删去）
可得：
   
人在最高点以相对于自己u的速度向后抛出物体的过程中，参阅题图a，应用动量守恒原理。
     
可得人以相对于自己u的速度向后抛出物体后人的速度：
     
可见人比不抛出物体时速度增加了速度：
因此人在抛出物体后多跳过的距离：
     

方法二，质心坐标系中应用动量守恒定律：
                       可得：
在下落时间过程中，人相对于质心运动的距离，即为人比不抛出物体多跳过的距离：
方法三，应用质心运动定律求解：
由于内力不改变质心原来运动的轨迹，由在质心C落地位置为人不抛出物体时原来落地位置，现人以相对于自己速度u 抛出物体m时，在下落时间过程中，人M与物体m之间的距离：
由质心位置公式知，质量为M的人离质心距离为：
 
【例4-5】如图所示，一质量为的匀质链条，长为L，手持其上端，下端与桌面接触。现使链条自静止释放落于桌面，试从下述三种不同的规律出发，计算链条下落距离时桌面对链条的作用力：
（1）动量规律；
（2）质心运动规律;
（3）变质量动力学规律；
【解】这是一个连续分布的柔性质点系，可以选择不同的部分作为研究对象，也可以从不同的角度求解。

方法一，运用动量规律求解。取如图b坐标。设时刻下落至桌面部分的链条长为，质量为；至时间内落到桌面上的链条质量为，其速度由减到0。选取已下落至桌面以及时间内下落至桌面的段链条为研究对象。由于链条自由下落，段仅受到重力和桌面支撑力的作用，根据质点系动量定理：
 
略去段重力，得：
因，，代入上式，且按题意，解得：。
可见链条下落时对桌面的冲击力为已下落至桌面上链条重量的两倍。
方法二，运用质心运动规律求解。由于整条链条受重力和桌面支撑力的作用，其质心作加速运动。选取如图c所示的坐标，以整条链条为研究对象。
质心位置：
质心速度：
质心加速度：
且：,  代入上式有：
   
根据质心运动定理：
解得：
方法三，运用变质量动力学规律求解。取下落至桌面部分的链条为研究主体，其质量逐渐增加，对如图b坐标，质量流相对主体速度大小：
质量流：    
质量流对主体的推力：
主体在其重力、桌面支撑力和质量流对主体的推力作用下保持静止。根据变质量动力学方程：     ，
同样得到上述结果。
【例4-6】从地球表面沿与铅垂线成角的方向发射一抛射体初速度，式中M、R分别为地球的质量和半径。若忽略空气阻力和地球自转的影响，试求：
（1）抛射体上升的最大高度H和射程的直线距离AD；
（2）求飞行时间T。
【解】（1）由于发射速度比较大，飞行高度与地球半径可比较，见图a。抛射体在飞行过程中受到的引力大小和方向都在改变，可以证明其运动轨迹不再是抛物线，而是椭圆。

抛射体受地球引力作用，对地心的力矩为零，抛射体对地心的角动量守恒。在发射地A和最大高度B处的角动量满足：
       
                                   （1）
物体只在地球引力作用下运动，系统的机械能守恒：
                     （2）
将，和（1）式代入（2）式，则（2）式简化为：
          
该二次三项式的解为：，
解得：
       椭圆的远地点，
       椭圆的近地点。
椭圆的长半轴和短半轴分别为：
     
                （3）
由图b可见，抛射体的发射点和落地点正处在椭圆短半轴的端点上，抛射体飞行的最大高度和射程的直线距离分别为：
                          
例如沿角方向发射，抛射体可达到的最大高度为：。
（2）由图b所示抛射体的飞行的面积速度：
      
从发射点到落地点抛射体扫过的面积为半椭圆和一三角形OAD面积之和，即：
      
        
由开普勒第二定律得抛射体的飞行时间：
      
若，则飞行时间为。