1-2 圆周运动和一般曲线运动
  

圆周运动是曲线运动的一个重要特例。在一般圆周运动中，质点速度的大小和方向都在改变着，亦即存在着加速度。为了使加速度的物理意义更为清晰，通常在圆周运动的研究中，都采用自然坐标系。

1. 切向加速度和法向加速度

质点的速度是沿着轨迹的切线方向的，因此，在自然坐标系中，可将它写成
             
    加速度可由上式对时间求导数得出。应该注意，上式右方不仅速率是变量，由于轨迹上各点的切线方向不同，其单位矢量也是个变量。设在时间内的增量为，则由加速度的定义得

        
     由此可见，圆周运动的加速度可分解为相互正交的切向分量和法向分量（图1-3）：
图 1-3 自然坐标系(c)

        ，        
    切向加速度的大小表示质点速率变化的快慢，法向加速度的大小表示质点速度方向变化的快慢。
    总加速度的大小为
              
    方向可用它和间的夹角表示：
            

该指出，以上有关变速圆周运动中加速度的讨论及其结果，对任何平面上的曲线运动，也都是适用的。但要注意，与圆周运动中的恒定半径不同，计算式中要用代替，是曲线在该点处的曲率半径。一般说来，曲线上各点处的曲率中心和曲率半径是逐点变化的，但法向加速度处处指向曲率中心。

2. 圆周运动的角量描述

质点做圆周运动时，也常用角位移、角速度和角加速度等角量来描述。
    角位移与时间之比，叫做在这段时间内质点对点的平均角速度，以表示，即
            
    如果趋近于零，相应的也趋近于零，而比值趋近于某一极限值
            
    叫做某一时刻质点对点的瞬时角速度简称角速度)，也就是平均角速度的极限值。
     设质点在某一时刻的角速度为，经过时间后，角速度为，因此叫做在这段时间内角速度的增量。角速度的增量与时间之比，叫做在这段时间内质点对点的平均角加速度，用表示，即
            
     如果趋近于零，那么比值就趋近于某一极限值
            
叫做在某一时刻，质点对点的瞬时角加速度(简称角加速度)，也就是平均角加速度的极限值。
角位移的单位是，角速度和角加速度的单位分别为和或和。
    质点做匀速圆周运动时，角速度是常量，角加速度为零。质点做变速圆周运动时，角速度不是常量，角加速度也可能不是常量。如果角加速度为常量，这就是匀变速圆周运动。

质点做匀速和匀变速圆周运动时，用角量表示的运动方程与匀速和匀变速直线运动的运动方程完全相似。

3. 线量与角量之间的关系

质点做圆周运动时，有关线量(速度、加速度)和角量(角速度、角加速度)之间，存在着一定的关系，可以推得：

        

           

4. 圆周运动方程的矢量描述

质点在空间所做的圆周运动与质点的直线运动相比，一般要复杂些。但是，根据运动的矢量性，我们可以把圆周运动看做是三个相互垂直的分运动的叠加，联系到质点运动的矢量描述，在数学处理上，也以用矢量方法最为方便。下面介绍圆周运动的矢量描述。
    当质点在平面内做圆周运动时，它的运动方程为
            
    或写成
            
     式中以计，、、以计。怎么知道该质点做的是圆周运动呢?当我们从、两式中消去后，得
            
    显然，这个轨迹方程表明质点是在的平面( 即平面)内，作以原点为中心、半径为的圆周运动。

知道了质点的运动方程，我们不仅可求出质点的运动轨迹，还可求出质点的速度和加速度。

5. 抛体运动方程的矢量描述

质点在空间所做的曲线运动与质点的直线运动相比，一般要复杂些。但是，根据运动的矢量性，我们可以把曲线运动看做是三个相互垂直的分运动的叠加，联系到质点运动的矢量描述，在数学处理上，也以用矢量方法最为方便。下面介绍抛体运动的矢量描述。
     从地面上某点向空中抛出一物体，它在空中的运动就叫抛体运动。抛体运动是一种平面曲线运动。  
    在研究抛体运动时，通常都取抛射点为坐标原点，而沿水平方向和竖直方向分别引轴和轴(图1-4)。从抛出时刻开始计时，则时，物体位于原点。以表示物体的初速度，以表示抛射角，则在轴和轴上的分量为
             ,
    物体在整个运动过程中的加速度为
            
    利用这些条件，可求出物体在空中任意时刻的速度为
             
    因，由此可得物体的运动方程为:
    
    上式就是抛体运动方程的矢量形式。由此可以得到做抛体运动物体的轨道和射程。 

图 1-4