3-2 刚体的角动量 转动动能 转动惯量

1. 刚体的角动量
    现在，我们把质点的角动量推广到刚体的角动量。
    质点的角动量是对一定点而言的，在刚体的定轴转动中，其角动量却是对固定转轴而言的，这里有个普遍情况和特殊情况的关系问题。为便于说明问题，我们考虑以角速度绕定轴转动的一根均匀细棒，如图所示。把细棒分成许多质点，其中第个质点的质量为。当细棒以转动时，该质点绕轴作半径为的圆周运动，它相对于点的位矢为，则它对点的角动量为
            
    因垂直于，所以的大小为
            
    方向如图所示。

图 3-2
     刚体对点的角动量，等于各个质点角动量的矢量和。由图可见，这时总角动量的方向和每个的方向相一致，但并不和轴或的方向相一致。对于定轴转动，我们感兴趣的只是对沿轴的分量，叫做刚体绕定轴的角动量，而这个分量实际上就是各质点的角动量沿轴的分量之和。从图中看出，,因此
            
    式中 叫做刚体对轴的转动惯量，用表示，由此得刚体转动惯量和刚体绕定轴的角动量的一般表式如下
            

        

2. 刚体的转动动能

刚体在转动时的动能，应该是组成刚体的各个质点的动能之和。设刚体中第个质点的质量为，速度为，则该质点的动能是。考虑到刚体作定轴转动时，各个质点都作圆周运动，设质点离轴的垂直距离为，则它的线速度，因此，整个刚体的动能
            
    式中正是刚体对转轴的转动惯量，所以定轴转动的刚体的动能可写为
            

这是刚体因转动而具有的动能，因此叫做刚体的转动动能。

3. 转动惯量的计算

按转动惯量的定义有

        

即刚体对转轴的转动惯量等于组成刚体各质点的质量与各自到转轴的距离平方的乘积之和。刚体的质量可认为是连续分布的，所以上式可写成积分形式

        

积分式中是质元的质量，是此质元到转轴的距离。

为了看出转动惯量的物理意义，我们不妨把平动与转动中相应物理量作一比较：
平动：  平动动能       线动量    
    转动：  转动动能         角动量     
    不难看出，角速度相当于线速度，而转动惯量则相当于质量。质量是平动中惯性大小的量度，则转动惯量无疑是转动中惯性大小的量度了。
    由转动惯量的定义及例题可以看出，影响转动惯量大小的因素归纳起来有三个：（１）刚体的总质量，（２）质量的分布，（３）给定轴的位置。