然而根据光速不变原理，从 系上观察，则这个事件的时空坐标 又必定在以 为中心、以 为半径的球面波阵面上，即满足
现将式（4-2-1）代入式（4-2-3），得
比较式（4-2-4）与式（4-2-2），使它们一致必有
我们还可找出系数之间的另一个关系。取系的原点，由变换关系（4-2-1）可知，它在 系内的位置必满足
但是，这个 点相对于 系是以速度 沿 轴运动的，故有 ，因此我们得到
将式（4-2-5）与式（4-2-6）联立，就可以解出系数，即
式（4-2-7）代入式（4-2-1），就得到从 系到系的变换式：
由上式解出  、 、 、 可得反变换式。用相对性原理可以更简单地导出反变换。因为系和系是等价地，所以从系到系的变换应该与从系到系的变换具有相同形式。若系相对于系的运动速度为（沿轴正方向），则系相对于系的速度为 。因此只要把上式中的改为 ，把带撇的变量与不带撇的变量相应互换，即得反变换式：
|
沿
）。现有一事件
，在
时刻、
点发生的；在
时刻、
点发生的。如图4-9所示，为方便起见，事件
；在
。 
）到（
）的变换式必须是线性的。
、
、
、
，我们取前面图4-8所示的闪光的发射和接收来讨论。显然从
时刻光波到达处于
处的接收器这样一个事件必定发生于以原点
为中心、以
为半径的球面波阵面上，因此，
满足球面方程
