1. 静电场的高斯定理

在了解了电场强度通量的概念后，现进一步讨论通过闭合曲面的电场强度通量和作为场源的电荷量之间的关系，从而得出表征静电场性质的一个基本定理——高斯定理。
    首先我们计算在点电荷q (q＞0)所激发的电场中，通过以点电荷为中心、半径为r的球面上的电场强度通量。根据库仑定律，在球面上任一点的电场强度为
                
    电场强度的方向沿半径呈辐射状，处处和球面的法线单位矢量的方向一致(见图7-10)，即和之间的夹角θ = 0。所以，由式(7-17)可求得通过该闭合球面上的电场强度通量为

（7-18）

这一结果表明，通过闭合球面上的电场强度通量和球面所包围的电荷量成正比，而和所取球面的半径无关。也就是说，如果以点电荷q为球心作几个同心球面、、、…，通过各球面的电场强度通量都等于 (见图7-11)。

图 7-10 通过以点电荷为球心的球面上的电场强度通量

图 7-11 通过以点电荷为球心的 同心球面上的电场强度通量

图 7-12 电荷不在球面中心的电场强度通量

图 7-13 闭合曲面内有n个电荷的电场强度通量

从电场线的观点看，我们进而还可以推断，由于从点电荷q发出的所有电场线连续地延伸到无限远处，即使球面的形状发生了畸变或者点电荷不在球的中心（图7-12），那么通过畸变了的球面的电场强度通量以及电荷不在中心的球面的电场强度通量都没有发生变化，仍为。
    再进一步，在有n个电荷的情况下，根据电场强度叠加原理，空间任一点的电场强度是这n个电荷电场的矢量和
                
    如果这n个电荷都在一闭合曲面内（图7-13），此时通过该闭合曲面的电场强度通量是

（7-19）

上式右边第一项是电荷所激发的电场通过闭合曲面S的电场强度通量，按(7-18)式它等于；其余各项有相同的意义，因此，

（7-20）

另一方面，如果闭合曲面内没有包围电荷（图7-14），电荷在闭合曲面外面，那么进入闭合曲面的电场线等于穿出该闭合曲面的电场线，所以总的电场强度通量为零，即

(q在闭合曲面的外面)

（7-21）

综合以上讨论，不难得出结论，在任意的静电场中，通过任一闭合曲面的电场强度通量，等于该曲面内电荷量的代数和除以，一般写为

（7-22）

这就是表征静电场普遍性质的高斯定理。
    从高斯定理可以看出，当闭合曲面内的电荷为正时， ＞0，表示有电场线从q发出并穿出闭合曲面，所以，正电荷q称为静电场的源头；当闭合曲面内的电荷q为负时，＜0，表示有电场线穿进闭合曲面而终止于q，所以，负电荷称为静电场的尾闾。因此高斯定理说明了电场线起发于正电荷、终止于负电荷，亦即静电场是有源场。
    必须注意到，在高斯定理的表式中，右端是闭合曲面内电荷量的代数和，说明决定通过闭合曲面电场强度通量的只是闭合曲面内电荷量（图7-15中的、和、）；而左端的电场强度却是空间所有电荷(图7-15中的、、、和)在闭合曲面上任一点所激发的总电场强度，也就是说，闭合曲面外的电荷（图7-15中的和、）对闭合曲面上各点的电场强度也有贡献，但对整个闭合曲面上电场强度通量的贡献却为零。

图 7-14 q在闭合曲面的外面

图 7-15 闭合曲面内外均有电荷

高斯定理和库仑定律都可以看做是静电场的基本定律，它们是相互等价的不同表述。不难想象，如果库仑力不是精确地与电荷间的距离平方成反比关系，那么当点电荷置于球中心时，通过该球面的电场强度通量就不可能与球面的半径无关，高斯定理也就不可能成立。但两者在物理含义上并不完全相同。库仑定律把电场强度和电荷直接联系起来，而高斯定理将电场强度通量和某一区域内的电荷联系在一起。 而且，库仑定律只适用于静电场，因为库仑定律涉及两电荷之间的距离，而距离的信息是以有限的速度传递的，那么对快速运动的电荷库仑定律就变得没有意义了；而高斯定理不但适用于静止电荷和静电场，也适用于运动电荷和迅速变化的电磁场，比库仑定律更具广泛意义。

2. 高斯定理的应用

一般情况下，当电荷分布给定时，从高斯定理只能求出通过某一闭合曲面的电场强度通量，并不能把电场中各点的电场强度确定下来。 但是，当电荷分布具有某些特殊的对称性，从而使相应的电场分布也具有一定的对称性时，才有可能应用高斯定理来计算电场强度。所以应用高斯定理求解电场强度时，首先必须对所论问题的电荷分布和电场分布有一个适当的分析，看能不能找出合适的闭合面（习惯上称它为高斯面），使电场强度垂直于这个闭合面，且大小处处相等；或者在闭合面的某一部分上电场强度处处相等且方向与该面垂直，另一部分上电场强度与该面平行，因而通过的电场强度通量为零。 如果能找到这样的闭合面，那么我们就能在应用高斯定理时避免对电场强度作复杂的积分，而只要计算所作高斯面内的电荷量——这往往是比较容易的。用这样的方法能很方便地求出电场强度。下面举几个简单例子来说明如何应用高斯定理求解电场强度。

应用高斯定理求解电场强度要比用式(7-9)计算电场强度简便得多。但这只有当电场具有高度对称性，找得出合适的高斯面时，才有可能应用高斯定理求解电场强度。应该说这个条件是很苛刻的，一般情况下并不能直接用高斯定理来求解电场强度。