7-9 有电介质时的高斯定理  电位移  

1．有电介质时的高斯定理  电位移

在有电介质的电场中，高斯定理依然成立，但高斯定理式中的应理解为处于该闭合曲面内所有电荷，包括自由电荷和极化电荷的代数和。因此，在有电介质存在的情况下，高斯定理具体可写为
(7-62)
式中的和分别表示S面内自由电荷量的代数和与极化电荷量的代数和。由于极化电荷的分布又取决于电场强度，也就是说，如果要用式（7-62）来求解电场强度时，极化电荷本身也是待求的量，这种相互关系上的环联给求解问题带来困难。为了解决这个问题，我们将设法把从式中隐去，并引进一个新的物理量，使等式右边只包含自由电荷，从而得到一个便于求解的公式。
    为简单起见，仍以上节两“无限大”带电平板中充满均匀电介质这个特例来进行讨论。设两极板所带自由电荷的面密度分别为，电介质极化后，在靠近电容器两极板的电介质两表面上分别产生极化电荷，面密度为。如图7-40所示，作一圆柱形闭合面(图中虚线是所作闭合面的截面)，闭合面的上下底面与极板平行，上底面在导体极板内，下底面紧贴着电介质的上表面。于是，对所作闭合面，式(7-62)可写为

图 7-40 有电介质时的高斯定理
(7-63)

由式(7-54)知，又因电极化强度对整个封闭面的积分等于对下底面的积分（上底面在导体中，为零），考虑到在面上的大小相同，方向与面垂直，于是有

        
    代入式(7-63)得

        
    用表示封闭面内所包围的自由电荷，经移项后得

        
    或  
    把式中的定义为电位移，(通常称作矢量)，即

(7-64)
代入前一式，有
(7-65)
不再显现极化电荷。式(7-65)就是有电介质时的高斯定理。方程(7-65)虽是从特殊情况下推出的，但它是普遍适用的，是静电场的基本定理之一。作为电位移矢量的定义式(7-64)，对各向同性介质或各向异性介质也都是普遍适用的。
    为了对电位移的描述形象化起见，我们仿照电场线方法，在有电介质的静电场中作电位移线，使线上每一点的切线方向和该点电位移的方向相同，并规定在垂直于电位移线的单位面积上通过的电位移线数目等于该点的电位移的量值，称作电通量。这样有电介质时的高斯定理就告诉我们：通过电介质中任一闭合曲面的电通量等于该面所包围的自由电荷量的代数和。从式(7-65)还可以看出，电位移线是从正的自由电荷出发，终止于负的自由电荷，这与电场线不一样，电场线起讫于各种正、负电荷，包括自由电荷和极化电荷。以有介质的平行板电容为例，如图7-41所示，电位移线（线）在电容器内部是均匀分布的；由于有部分电场线（线）终止于介质表面的极化电荷，在介质内部电场线就变得稀疏些；如果也用所谓线来描述电极化强度矢量场的话，那么由于电极化强度只与极化电荷有关，所以线起始于负的极化电荷、终止于正的极化电荷，它们只出现在介质内部。
    电位移的单位是C/m2。

图 7-41　有介质的平行板电容内的、、线(q为自由电荷，为极化电荷)

2. 、、三矢量之间的关系

由式(7-69)定义的电位移矢量说明电位移与电场强度和电极化强度有关，但它和电场强度 (单位正电荷所受的力)及电极化强度 (单位体积的电偶极矩)不一样，没有明显的物理意义。引进的优点在于计算通过任一闭合曲面的电通量时，可以不考虑极化电荷的分布，如果由此能算出，再利用其他关系式，就有可能较为方便地算出电介质中的电场强度。但必须指出，通过闭合曲面的电通量只和曲面内的自由电荷有关，并不是说电位移仅决定于自由电荷的分布，它和极化电荷的分布也是有关的，从式(7-64)可以看到这一点。

对于各向同性电介质，将关系式代入式(7-64)并考虑到电极化率、相对电容率和电容率的关系，得

        
    或
（7-66）

上式说明了电位移与电场强度的简单关系，它和有电介质时的高斯定理[方程（7-65）]一起显示出引入电位移的好处，在不知道极化电荷分布的情况下我们仍有可能计算出有介质时的电场。

最后必须指出，在本节提供的两个例题中，都得到和的关系式，再将有电介质时的高斯定理和真空中静电场的高斯定理相比较，似乎也和相同，亦即似乎应和极化电荷无关，或者如例题7-9-2所示的，在不同电介质中电位移大小相等而电场强度的大小不同。其实，这一关系以及例题7-9-2所示的结论只在一定的条件下才能成立，这条件是均匀电介质充满整个电场(如例题7-9-1或电介质表面是等势面(如例题7-9-2)，除此之外并不成立。图7-42表示一均匀电场中在放入电介质球的前后电场线与电位移线的分布情况，从图中可以看出，与的上述关系在全部是真空的情况下是成立的，当放入电介质球后，球外线和线显然不同于原来的分布，这时在球内各点两者间的关系就不是，而是了。


图 7-42 均匀电场中放入电介质球后，电介质内外的线和线