12-1 几何光学简介
    光是电磁波的一种,干涉和衍射等现象显示了光的波动性。很多光学现象都可以用波动理论来解释。但有些现象,如光的直线传播、光的反射和折射成像等问题,不涉及波长、相位等波动概念,借用光线和波面等概念,并且用几何方法来研究将更为方便,这就是几何光学研究的内容。

1.光的传播规律

    光在传播过程中遵从三条实验定律:光的直线传播定律光的独立传播定律光的反射定律和折射定律
    对于光在两种介质的分界面上的反射和折射,如果光线逆着原来反射线的方向或折射线的方向到界面时就可以逆着原来的入射线方向反射和折射,即当光线的方向返转时,光将循同一路径而逆向传播,这称为光路的可逆原理
    光从空间的一点到另一点是沿着光程为最短的路径传播。这是费马(P.de Fermat)于1657年首先提出的,称为费马原理,或称光程最短定律。费马原理的一般表达式为
极值
(12-3)
即光线在实际路径上的光程的变分为零。
    费马原理比上述实验定律具有更高的概括性,由它可以推导出光的直线传播定律和反射、折射定律。
    直线是两点间的最短的线,如果光从均匀介质中的A点传播到B点,那么光的直线传播定律是费马原理的简单推论。
    如图12-1所示,AB是折射率为的均匀介质中的两点,设有一光线APBA点经界面反射后射向B点,则其光程
            +
根据费马原理,这光程应为极小。所以
            
上式可写成
            
从图上可以看出,上式即为
            
即    
这就是反射定律。

图12-1 由费马原理推导反射定律

图12-2 由费马原理推导折射定律
    如图12-2所示,光线从折射率为的介质中的A点,经P点射到折射率为的介质中的B点,其光程
            +
根据费马原理,光程最小的条件是
            
上式可写成
            
从图上可以看出,上式可改写为
            
这就是折射定律。

2.全反射

    光束从折射率大的介质射到折射率小的介质时,折射角大于入射角。当入射角时,折射角=90°,因而当入射角时,光线就不再折射而全部被反射(图12-3),这种现象称为全反射,入射角称为全反射临界角。由折射定律可得

图12-3 光的全反射

图12-4 光导纤维
(12-4)
    由水到空气的全反射临界角约为49°,由各种玻璃到空气的临界角在之间。
    全反射的应用很广,光导纤维就是利用全反射规律使光线沿着弯曲路径传播的光学元件(图12-4)。一般的光导纤维是由直径约几微米的玻璃(或透明塑料)纤维组成,每根纤维分内外两层,内层材料的折射率为1.8左右,外层材料的折射率为1.4左右。这样,入射角大于临界角的光线,由于全反射,在两层界面上经历多次反射后从一端传到另一端。
    光导纤维已发展成一门新的学科分支——纤维光学,光导纤维可应用于医疗上的内窥镜、光导通信等领域。

3.光在平面上的反射

    从任一发光点发出的光束,经平面镜反射后,其反射光线的反向延长线相交于点。由于实际光线并没有通过点,所以点就是点的虚像,它位于镜后,在通过点向平面所作的垂直线上,且
                
点与点成镜面对称。


图12-5 平面镜成像

4.光在三棱镜内的折射

    截面呈三角形的透明棱柱称为三棱镜,与其棱边垂直的平面称为主截面。光线在棱镜主截面内的折射如图12-6所示。出射光线与入射光线间的夹角,称为偏向角,用表示。从图上可以看出,偏向角与入射角和折射角以及棱镜顶角之间有如下的关系
        
又                
所以              
    对于给定的棱镜顶角,偏向角随入射角而变化。由实验得知,对于某一值,偏向角有最小值,称为最小偏向角。由计算可以得到,产生最小偏向角的条件是
            或
由此可得
(12-5)

图12-6 光在三棱镜内的折射
在棱镜顶角已知的条件下,通过最小偏向角的测定,可以得到棱镜材料的折射率。

5.光在球面上的反射

    如图12-7所示,AOB表示球面的一部分,这部分球面的中心点称为顶点,球面的球心称为曲率中心,球面半径称为曲率半径,以表示。连接顶点和曲率中心的直线称为主光轴。从轴上的一物点发出光线经球面反射后相交于主光轴上点,点为物点的像。从顶点到物点的距离称为物距,以表示,从顶点到像点的距离称为像距,以表示。
    研究球面反射、折射以及薄透镜等成像问题,在应用物像公式时,对于不同的情况,需要考虑各量的正负号。读者注意,各种不同教材或参考书所规定的正负号法则不尽相同。


图12-7 正负号法则的标示
    从图12-8可以看出
        
从两式消去,得
(12-6)


很小时,这样的光线与主光轴靠得很近,称为傍轴光线。在这种情况下
    

图12-8 球面反射的物像公式的推导
代入式(12-6)得
(12-7)
    当时,,即平行主光轴的光束经球面反射后,将在光轴上会聚成一点,如图12-9(a)所示,该像点称为反射球面的焦点,以表示,从顶点到焦点的距离称为焦距,以表示。对于凸球面反射的焦点在镜后,如图12-9(b)所示,这焦点为虚焦点。如果入射光与主光轴成很小的角度,光线将会聚在垂直于主光轴且通过焦点的一个平面上的点,如图12-9(c)所示,这个平面称为焦平面,由式(12-7)可知

(a)

(b)

(c)
图12-9 焦点和焦平面
(12-8)
于是式(12-7)可写成
(12-9)
式(12-7)和式(12-9)都称为在傍轴光线条件下球面反射的物像公式。这公式虽是用凹面镜导出,但也适用于凸面镜,不过需注意正负号法则。
    物距为、高为的物,经球面反射后成像,像距为,像高为(图12-10)。像高与物高之比定义为横向放大率。根据相似,可得放大率的大小                     
            
    为了能表达像的正倒,把上式改写为
(12-10)
    如果计算所得是正值,表示像是正立的;是负值,表示像是倒立的。>1表示像是放大的,<1表示像是缩小的。
    利用作图法可以直观地了解系统成像的位置、大小和虚实情况。作图法还能发现在应用物像公式计算时所发生正负号选择错误或运算错误。


图12-10 像的横向放大率

6.光在球面上的折射

    如图12-11所示,为折射率分别为两种介质的球面界面,设。光线从物点发出,经球面折射后与主光轴相交于点,则点为像点。由三角形
        
    根据折射定律 
考虑傍轴光线,都很小,有
        
代入上式得
        
在傍轴光线条件下

图12-11 光在球面上的折射
    
于是可得
(12-11)
这就是在傍轴光线条件下球面折射的物像公式。
    折射球面的横向放大率(推导从略)为
(12-12)
式(12-11)和式(12-12)虽是用凸折射球面导出的,同样适用于凹折射球面,但需注意正负号法则。
    如果平行于主光轴的入射光线,经球面折射后,与主光轴的交点称为像方焦点,以表示,从球面顶点到像方焦点的距离称为像方焦距,以表示(图12-12)。由式(12-11)可知,当时,即得

(a)

(b)
图12-12 像方焦点和焦距
(12-13a)
    如果把物点放在主轴上某一点时,发出的光经球面折射后将产生平行于主轴的平行光束,这一物点所在点称为物方焦点,以表示。从球面顶点到物方焦点的距离称为物方焦距,以表示(图12-13)。由式(12-11)可知,当时,即得

(a)

(b)
图12-13 物方焦点和焦距
(12-13b)
从式(12-13a)和式(12-13b)可知,之间的关系为

(12-14)
即物像两方焦距之比等于两方介质折射率之比。由于永远不相等,所以

7.共轴球面系统成像

    多个单球面组成的共轴球面系统,其物像关系可以对每一个球面逐次用成像公式计算。但需注意,第一个球面所成的像将作为第二个球面的物,依次类推。对于每一个球面应用物像公式时,都要重新考虑各量的正负号法则。特别要注意这样的情况,光从前一个球面出射后是会聚的,应该是实像,但光束尚未到达会聚点时,就遇到下一个球面,如图12-14中的第四个球面,这种会聚光对下一个球面来说,就是入射光束,故仍应将这
个 实像看做是物,这物称为虚物。例如图中的点对球面4来说就是虚物。对于虚物,其物距应取负值。
    共轴球面系统的横向放大率等于各个球面放大率的乘积,即
(12-15)

图12-14 共轭球面系统成像

8.薄透镜

    由两个折射面为界面组成的透明光具组称为透镜,其中透明材料通常是玻璃。最常用的透镜界面是球面,另外也有一个界面是球面,另一个界面是平面,中央部分比边缘部分厚的透镜,称为凸透镜,也称会聚透镜。凸透镜从它们截面的形状来分,可分双凸透镜、平凸透镜和凹凸透镜三种,如图12-15(a)所示。中央部分比边缘部分薄的透镜,称为凹透镜,也称发散透镜,它们也可分为双凹透镜、平凹透镜和凸凹透镜三种,如图12-15(b)所示。

(a)凸透镜(会聚)

(b)凹透镜(发散)
图12-15 各种形状的透镜
    如果透镜的厚度比两球面的曲率半径小得多,这样的透镜叫做薄透镜。现在一般所用的透镜都是薄透镜。为作图简便起见,分别用图12-16中的(a)和(b)表示薄凸透镜和薄凹透镜。

(a)凸透镜            (b)凹透镜
图12-16 薄透镜的符号

图12-17 透镜的物像关系
(1)傍轴光线条件下的薄透镜物像公式
    在薄透镜中,两球面的主光轴重合,两顶点可视为重合在一点,称为薄透镜的光心
    如图12-17所示,设轴上一物点离薄透镜光心的距离为,对第一折射面,应用球面折射公式有
                      
式中为透镜材料的折射率。对第二折射球面
                     
由于第一折射球面所成的像就是第二折射球面的物,所以。将以上两式相加并代入上述关系,得
                   
若以表示物对薄透镜的物距,即;以表示像对薄透镜的像距,即,于是上式可写成

(12-16)
这就在傍轴条件下薄透镜物像公式的一般形式。
    同样,当,平行光束将会聚成像方焦点(图12-18),其像方焦距为

(a)凸透镜

(b)凹透镜
图12-18 薄透镜的焦点
(12-17a)
,则物点所在点为物方焦点,其物方焦距为
(12-17b)
若薄透镜处于空气中,则,可得焦距
(12-18)
上式给出薄透镜焦距与折射率、曲率半径的关系,称为磨镜者公式。薄透镜的物像公式可进一步写成
(12-19a)
(12-19b)
这就是薄透镜在空气中的物像公式。
    薄透镜的放大率
            
如同球面镜一样,若为正,则为直立的像;若为负,则为倒像。
    薄透镜焦距的倒数通常称为透镜的光焦度,它的单位是屈光度(记作D,这是非法定计量单位,)。若透镜焦距以m为单位,其倒数的单位便是D,例如50cm的凹透镜的光焦度。应该注意,通常眼镜的度数,是屈光度的100倍。例如上述的透镜就是200度。
    (2)薄透镜成像的作图法
    在薄透镜的情形里,作图时可选择下列三条光线:
    (1)平行于光轴的光线,经透镜后通过像方焦点
    (2)通过物方焦点的光线,经透镜后平行于光轴。
    (3)若物像两方折射率相等,通过光心的光线经透镜后方向不变。
    从以上三条光线中任选两条作图,出射线的交点即为像点
    图12-19画出了透镜成像的部分光路图。

(a)

(b)

(c)
图12-19 透镜成像光路图

9.光学仪器

利用几何光学原理可以制造各类成像光学仪器,其中主要有放大镜、显微镜望远镜、照相机等。

由于任何光学仪器都是人眼功能的扩展,因而有必要了解一下人眼的构造。

    人眼的结构非常复杂,图12-20(a)为人眼的水平剖面图。为了讨论问题简便,常把人眼简化为一个单球系统,如图12-20(b)所示,其中主要部分是晶状体,它的曲率通过睫状肌来调节。正常视力的眼睛,当睫状肌完全松弛的时候,无穷远处的物体成像在视网膜上[图12-21(a)]。为了观察较近的物体,睫状肌压缩晶状体,使它的曲率增大,焦距缩短,因而眼睛有调焦的能力。眼睛睫状肌完全松弛和最紧张时所能清楚看到的点,分别称为调焦范围的远点近点。一般人眼对25cm处的物体看得清楚而又不感到疲劳,因而定义25cm为人眼的明视距离。

    

(a)                                      (b)
图12-20 眼睛的结构和简化眼

患有近视眼的人,当睫状肌完全松弛时,无穷远处的物体成像在视网膜之前,它的远点在有限远的位置。矫正的方法是戴凹透镜的眼镜,凹透镜的作用是将无限远处的物体先成一虚像,在近视眼的远点处,然后由晶状体成像在视网膜上[图12-21(b)]。患有远视眼的人,无穷远处的物体成像在视网膜之后,它的近点一般离眼较远。矫正的方法是戴凸透镜的眼镜。凸透镜的作用是近点以内一定范围的物体先成一虚像在近点处,然后由晶状体成像在视网膜上。
    物体在视网膜上成像的大小,正比于它对眼睛所张的角度——视角。所以物体愈近,它在视网膜上的像也就愈大,愈容易分辨它的细节。但是在到达明视距离后,再前移,视角虽增大,但眼睛看起来可能费力,甚至看不清。
   


图12-21 眼睛的缺陷与矫正

放大镜是帮助眼睛观察细微物体或细节的光学仪器。下面介绍放大镜的成像原理。

最简单的放大镜是一个焦距很短的会聚透镜,(明视距离)。物体放在明视距离处,眼睛直接观察时,视角[图12-22(b)]近似等于
           
式中为物体的长度。使用放大镜时,物体放在薄透镜和物方焦点之间而靠近焦点处,则在明视距离附近成一正立、放大的虚像,此放大虚像对眼所张的视角[图12-22(a)]近似等于

          

由于放大镜的作用是放大视角,所以引入视角放大率的概念以区别于像的横向放大率,它定义为

(12-20)
从上式可知,愈小,放大镜的视角放大率愈大。实际上太小时,球面的曲率太大,眼睛所能观察的范围(视场)很小,观察不方便,并且曲率愈大,透镜的像差现象也愈显著。所以一般情况放大镜的放大率只有几倍。如果要获得更高的放大倍数,则需要采用复合透镜。显微镜和望远镜中的目镜,就是复合透镜组合的放大镜。

(a)

(b)
图12-22 放大镜光路图