1．波的叠加原理

几个波源产生的波，同时在一介质中传播，如果这几列波在空间某点处相遇，那么每一列波都将独立地保持自己原有的特性（频率、波长、振动方向等）传播，就像在各自的路程中，并没有遇到其他波一样，这称为波传播的独立性。在波传播相遇的区域内，任一点处质点的振动为各列波单独在该点引起的振动的合振动，即在任一时刻，该点处质点的振动位移是各个波在该点所引起的位移的矢量和。这一规律称为波的叠加原理。

图11-21 两列（或两列以上）振动方向相同的同方向传播的波动的叠加

图11-21的各个图分别表示两列（或两列以上）振动方向相同的同方向传播的波动在不同条件下的叠加情况，每个图中最下面的图线表示叠加的结束。图11-21（1）表示同频率、不同振幅的两个波的叠加；图11-21（2）表示频率比为的三个不同振幅的波的叠加；图11-21（3）表示频率比为的两个等振幅波的叠加；图11-38（4）表示频率比为的两个等振幅波的叠加，与（3）有不同相位；图11-21（5）表示一个高频波和一个低频波的叠加；图11-21（6）表示频率相近的两个等幅波的叠加。

波的叠加原理在物理上的重要性，还在于可将下列复杂的波分解为简谐波的组合。事实上，这正如傅里叶所指出的：任何一质点的周期运动，都可用简谐振动的合成来表示一样。

2．波的干涉

一般地说，振幅、频率、相位等都不相同的几列波在某一点叠加时，情形是很复杂的。下面只讨论一种最简单而又最重要的情形，即两列频率相同、振动方向相同、相位相同或相位差恒定的简谐波的叠加。满足这些条件的两列波在空间任何一点相遇时，该点的两个分振动也有恒定相位差。但是对于空间不同的点，有着不同的恒定相位差。因而在空间某些点处，振动始终加强，而在另一些点处，振动始终减弱或完全抵消。这种现象称为干涉现象。能产生干涉现象的波称为相干波，相应的波源称为相干波源。

设有两列相干波在空间某点相遇，两列波叠加后的强度：

由于波的强度正比于振幅的平方，所以两列波叠加后的强度

（11-58）

（11-59）

当时，在这些位置波的强度最大，等于单个波强度的4倍()。当时，波的强度最小()。叠加后波的强度随相位差变化的情况如图11-22所示。

图11-22

波的干涉

应该指出，干涉现象是波动形式所独具的重要特征之一。因为只有波动的合成，才能产生干涉现象。干涉现象对于光学、声学等都非常重要，对于近代物理学的发展也有重大的作用。

3．驻波

现在来讨论俩两列振幅相同的相干波，在同一直线上，沿相反方向传播时所产生的叠加情形。为了产生横驻波可用图11-23所示的装置。音叉振动时，绳上产生波动，向右传播，达到点时，在点反射，产生反射波向左传播。这样入射波和反射波在同一绳子上沿相反方向传播，它们将互相叠加。移动尖劈至适当位置，结果形成图上所示的波动状态。

图11-23

从图上可以看出，由上述两列波叠加而成的波，从点开始被分成好几段，每段两端的点固定不动，而每段中的各质点则作振幅不同、相位相同的独立振动。中间的点，振幅最大，越靠近两端的点，振幅越小。而且还发现，相邻两段的振动方向是相反的。此时绳上各点，只有段与段之间的相位突变，而没有振动状态或相位的逐点传播，亦即没有什么“跑动”的波形，也没有什么能量向外传播，所以称这种波为驻波。驻波中始终静止不动的那些点称为波节，振幅最大的各点称为波腹。

现在用简谐波的表式对驻波进行定量描述。为此，把沿轴的正方向传播的波写为    
        

把沿轴负方向传播的波写为

其合成波为

由上式可看出，合成以后各点都在作同周期的简谐振动，但各点的振幅为，即驻波的振幅与位置有关（与时间无关）。由此可以得到：

波腹、波节的位置

各点振动的相位

驻波的能量

在图11-23所示的实验中，反射点是固定不动的，在该处形成驻波的一个波节。这一结果说明，当反射点固定不动时，反射波与入射波在点是反相位的（图11-24a)，如果反射波与入射波在点是同相位的,那么合成的驻波在点应是波腹（图11-24b)。这就是说，当反射点固定不动时，反射波与入射波间有的相位突变。因为相距半波长的两点相位差为，所以这个的相位突变一般形象化地称为“半波损失”。如反射点是自由的，合成的驻波在反射点将形成波腹，这时，反射波与入射波之间没有相位突变。

图11-24

驻波

4．弦线上的驻波

驻波现象有许多实际的应用。例如，弦线的两端拉紧固定（或细棒的两端固定），当拨动弦线时，弦线中就产生经两端反射而成的两列反向传播的波，叠加后形成驻波。由于在两固定端必须是波节，因而其波长有一定限制，波长与弦长必须满足条件:

而波速，于是

（11-63）

就是说，只有波长（或频率）满足上述条件的一系列波才能在弦上形成驻波。其中与对应的频率称为基频，对弦来说， ，其他频率依次称为二次、三次…谐频（对声驻波则称为基音和泛音）（图11-25）。各种允许频率所对应的驻波（即简谐振动方式）即为简正模式，相应的频率为简正频率。对两端固定的弦，这一驻波系统，有无限多个简正模式和简正频率。一个系统的简正模式所对应的简正频率反映了系统的固有频率特性，如果外界驱使系统振动，当驱动力频率接近系统某一固有频率时，系统将被激发，产生振幅很大的驻波，这种现象也称为共振。

图11-25

对一端固定、一端自由的棒（或一端封闭、一端开放的管）；或对两端自由的棒（或两端开放的管），也可作类似的分析，以确定它的简正模式（图11-25)。此外，锣面、鼓皮也都是驻波系统，由于是二维的情况，它们的简正模式要比棒的简正模式复杂得多。