13-1 热辐射 普朗克的能量子假设

1．热辐射现象
    任何固体或液体，在任何温度下都在发射各种波长的电磁波，这种由于物体中的分子、原子受到热激发而发射电磁波的现象称为热辐射。物体向四周所发射的能量称为辐射能。实验表明，热辐射具有连续的辐射能谱，波长自远红外区延伸到紫外区，并且辐射能按波长的分布主要决定于物体的温度。在一般温度下，物体的热辐射主要在红外区。例如把铁块在炉中加热，起初看不到它发光，却感到它辐射出来的热。随着温度的不断升高，它发出暗红色的可见光，逐渐转为橙色而后成为黄白色，在温度极高时，变为青白色。这说明同一物体在一定温度下所辐射的能量，在不同光谱区域的分布是不均匀的，温度越高，光谱中与能量最大的辐射所对应的波长也越短。同时随着温度的升高，辐射的总能量也增加。

2．基尔霍夫辐射定律
    为了定量描写热辐射的规律，引入几个有关辐射的物理量。
    （1）单色辐出度 在单位时间内，从物体表面单位面积上所发射的波长在到范围内的辐射能，与波长间隔成正比，那么与的比值称为单色辐出度，用表示，即    
（13-1）
实验指出，与辐射物体的温度和辐射的波长有关，是和的函数，常表示为或，它表示在单位时间内从物体表面单位面积发射的波长在附近单位波长间隔内的辐射能。单色辐出度反映了物体在不同温度下辐射能按波长分布的情况。的单位为。
    （2）辐出度 单位时间内从物体表面单位面积上所发射的各种波长的总辐射能，称为物体的辐出度。显然，对于给定的一个物体，辐出度只是其温度的函数，常用表示，单位为。在一定温度时，物体的辐出度与单色辐出度的关系为
（13-2）
实验指出，在相同温度下，各种不同的物体，特别在表面的情况(如粗糙程度等)不同时，的量值是不同的，相应地的量值也是不同的。
    （3）单色吸收比和单色反射比 任一物体向周围发射辐射能的同时，也吸收周围物体发射的辐射能。当辐射从外界入射到不透明的物体表面上时，一部分能量被吸收，另一部分从表面反射(如果物体是透明的，则还有一部分能透射)。被物体吸收的能量与入射能量之比称为这物体的吸收比。反射的能量与入射能量之比称为这物体的反射比。物体的吸收比和反射比也与温度和波长有关。在波长到范围内的吸收比称为单色吸收比，用表示；波长到范围内的反射比称为单色反射比，用表示。对于不透明的物体，单色吸收比和单色反射比的总和等于1，即
（13-3）
    若物体在任何温度下，对任何波长的辐射能的吸收比都等于即，则称该物体为黑体。
    1860年，基尔霍夫（G.R.Kirchoff）从理论上提出了关于物体的辐出度与吸收比内在联系的重要定律：在同样的温度下，各种不同物体对相同波长的单色辐出度与单色吸收比之比值都相等，并等于该温度下黑体对同一波长的单色辐出度。用数学式表示时就是
（13-4）
式中表示黑体的单色辐出度。这一定律通俗地说就是好的吸收体也是好的辐射体。黑体是完全的吸收体，因此也是理想的辐射体。图13-1(a)是黑白花纹盘子在室温下的反射光的照片，图13-1(b)是它在高温下（1100K）发出辐射的照片。可以看出原来黑花纹的地方，吸收本领大，辐射本领也大。

图13-1 黑白花纹盘子的反射和自身辐射照片

3．黑体辐射实验定律
    从基尔霍夫定律不难看出，只要知道黑体的辐出度以及物体的吸收比，就能了解一般物体的热辐射性质。因此，从实验和理论上确定黑体的单色辐出度就是研究热辐射问题的中心任务。
    在自然界中，并不存在吸收比等于1的绝对黑体，例如吸收比最大的煤烟和黑色珐琅质，对太阳光的吸收比也不超过99%，所以黑体就像质点、刚体、理想气体等模型一样，也是一种理想化的模型。我们可以用不透明材料制成开小孔的空腔，作为在任何温度下能100%地吸收辐射能的黑体模型。如图13-2（ａ）所示，空腔外面的辐射能够通过小孔进入空腔，进入空腔内的射线，在空腔内进行多次反射，每反射一次，空腔的内壁将吸收一部分的辐射能，这样，经过很多次的相继的反射，进入小孔的辐射几乎完全被腔壁吸收。由于小孔的面积远比腔壁面积小，由小孔穿出的辐射能可以略去不计。所以任何空腔的小孔相当于一个黑体的模型，即把射入小孔内的全部辐射吸收掉了。另一方面，如果均匀地将腔壁加热以提高它的温度，腔壁将向腔内发射热辐射，其中一部分将从小孔射出，因为小孔像一个黑体的表面，从小孔发射的辐射波谱也就表征着黑体辐射的特性。在日常生活中，例如白天从远处看建筑物的窗口，窗口显得特别黑暗，这也是由于从窗口射入的光，经墙壁多次反射而吸收，很少从窗口射出的缘故。这样的窗口就相当于一个黑体。又如，在金属冶炼技术中，常在冶炼炉上开一小孔，以测定炉内温度，这炉上的小孔也近似黑体。实验室中用的黑体如图13-2（b）所示.
 

（a）

（b）
  
图13-2黑体的模型
    利用黑体模型，可用实验方法测定黑体的单色辐出度随和变化的实验曲线，如图13-3所示。

图13-3 黑体的辐出度按波长分布曲线
    根据实验曲线，得出下述有关黑体热辐射的两条普遍定律。
    (1) 斯特藩（J.Stefan）-玻耳兹曼（L.Boltzmann）定律    在图13-3中，每一条曲线反映了在一定温度下，黑体的单色辐出度随波长分布的情况。每一条曲线下的面积等于黑体在一定温度下的总辐出度，即
由图可见，随温度的增高而迅速增加。经实验确定，和热力学温度的关系为

 （13-5）
实验测得    
这一结果称为斯特藩-玻耳兹曼定律，只适用于黑体，称为斯特藩常量。
    (2) 维恩（W.Wien）位移定律    从图13-3也可以看出，在每一曲线上，有一最大值(峰值)，即最大的单色辐出度。相应于这最大值的波长，叫做峰值波长。随着温度的增高，向短波方向移动，两者间的关系经实验确定为

 （13-6）
式中    
这一结果称为维恩位移定律。称为维恩常量。这两个定律反映出热辐射的功率随着温度的升高而迅速增加，而且热辐射的峰值波长，还随着温度的增加而向短波方向移动。
    热辐射的规律在现代科学技术上的应用很为广泛。它是测高温、遥感、红外追踪等技术的物理基础。
    1964年，美国射电天文学家彭齐亚斯（A.A.Penzias）和威耳孙（R.W.Wilson）在研究从卫星上反射回来的信号中，接收到一种在空间均匀分布的微波信号噪声，这种噪声不是天线或接收机本身的电噪声，他们把它称为宇宙背景辐射。20世纪70年代他们曾对这种辐射的能谱分布进行测量，发现强度峰出现在附近。这个强度分布曲线恰好与黑体辐射在的能谱曲线符合，1990年，美国发射COBE卫星，对宇宙背景辐射进行了精密的观测，再度证实其能谱分布与的黑体辐射谱完全吻合，如图13-4所示。这证实了大爆炸宇宙论的预言，即由于初始的爆炸，在今日的宇宙中应残留温度约为的热辐射。由于背景辐射的发现在宇宙学上具有重要意义，彭齐亚斯和威耳孙同获1978年诺贝尔物理学奖。

图13-4宇宙背景辐射

4．普朗克的能量子假设
    图13-3的曲线反映了黑体的单色辐出度与、的关系。这些曲线都是实验的结果。为了从理论上找出符合实验曲线的函数式，即黑体辐出度与热力学温度及辐射波长的关系式，19世纪末许多物理学家在经典物理学的基础上作了相当大的努力。但是他们都遭到了失败，理论公式和实验结果不相符合。其中最典型的黑体辐射经典理论公式是维恩公式和瑞利-金斯公式。
     维恩公式和瑞利-金斯公式都是用经典物理学的方法来研究热辐射所得的结果，都与实验结果不相符合，明显地暴露了经典物理学的缺陷。因此，开尔文认为黑体辐射实验是物理学晴朗天空中一朵令人不安的乌云。
    为了解决上述困难，普朗克利用内插法将适用于短波的维恩公式和适用于长波的瑞利-金斯公式衔接起来，在1900年普朗克又提出了一个新的公式：

 （13-9a）
式中是光速，是玻耳兹曼常量，是一个新引入的常量，后来称为普朗克常量，是一个普适常量，其2002年国际推荐值为

图13-5 热辐射的理论公式与实验结果的比较
(表示实验结果)
    这一公式称为普朗克公式。它与实验结果符合得很好(参见图13-5)。普朗克公式也可用频率来表示

 （13-9b）
    由普朗克公式不难得到维恩公式和得到瑞利-金斯公式。
    从普朗克公式还可以推得由实验得到的斯特藩-玻耳兹曼定律和维恩位移定律。
    普朗克得到上述公式后，他指出“即使这个新的辐射公式证明是绝对精确的，如果仅仅是一个侥幸揣测出来的内插公式，它的价值也只能是有限的。”因此，他要寻找这个公式的理论根据。经过深思熟虑，他放弃了不少经典物理学的观点，唯独考虑熵和概率之间的关系。他发现必须使谐振子的能量取分立值，才能得到上述普朗克公式，才能避免“紫外灾难”。由此他提出以下的假设：辐射黑体分子、原子的振动可看做谐振子，这些谐振子可以发射和吸收辐射能。但是这些谐振子只可能处于某些分立的状态，在这些状态中，谐振子的能量并不像经典物理学所允许的可具有任意值。相应的能量是某一最小能量 (称为能量子)的整数倍，即
，，，…，
*为正整数，称为量子数。对于频率为的谐振子来说，最小能量为

 （13-12）
式中就是普朗克常量。在辐射或吸收能量时，振子从这些状态中的一个状态跃迁到另一个状态，即振子只能“跳跃式”地辐射能量。这个假设一般称为普朗克能量子假设，或简称普朗克量子假设。
    由此可见，正是黑体辐射的实验事实迫使普朗克作出了能量子的假设。这样的假设是与经典物理学的概念格格不入的。因此，从经典物理学看来，能量子的假设是荒谬的、不可思议的，就连普朗克本人也感到难以置信，总想回到经典理论的体系中，企图用连续性代替部连续性。为此，他花了许多精力，但最后还是证明这些企图是徒劳的。一直到1905年，爱因斯坦在普朗克能量子假设的基础上提出光量子概念，正确地解释了光电效应，从而普朗克能量子假设才冲破经典物理思想的束缚，逐渐为人们所接受。由于普朗克发现了能量子，对建立量子理论作出了卓越贡献，获1918年诺贝尔物理学奖。玻尔（N.Bohr）对普朗克的量子理论所作的评价:“在科学史上很难找到其他发现能像普朗克的基本作用量子一样在仅仅一代人的短时间里产生如此非凡的结果。这个发现将人类的观念——不仅是有关经典科学的观念，而且是有关通常思维方式的观念的基础砸得粉碎，上一代人能取得有关自然知识的如此神奇进展，应归功于人们从传统的思想束缚下获得的这一解放”。爱因斯坦在1918年4月普朗克60岁生日庆祝会上说：“在科学的殿堂里有各种各样的人：有的人爱科学是为了满足智力上的快感，有的人是为了纯粹功利的目的。而普朗克热爱科学是为了得到现象世界那些普遍的基本规律”。