若粒子在保守力场的作用下被限制在一定范围内运动，其势能曲线的形状与陷阱相似，故这种势能分布称为势阱。例如，电子在金属中的运动，质子在原子核中的势能曲线等。为了使计算简化，提出一个理想的势阱模型——无限深势阱。
设一维无限深势阱的势能分布如下：
其势能曲线如图13-25所示。
由于 ，对于 为有限值的粒子，要使上述方程成立，唯有 。
在阱内，设波函数为 ，定态薛定谔方程为
令
于是方程可改写为
其解为
式中 和 是两待定常数。因为在阱壁上波函数必须单值、连续，即应有
由此得
对波函数归一化，有
求得
于是得定态波函数
最后得波函数
我们将一维无限深势阱中粒子运动的特征总结如下：
粒子的最小能量状态称为基态，最小能量称为基态能。上式表明， 愈小， 就愈大，粒子运动愈剧烈。按照经典理论，粒子的能量是连续分布的，其能量可以为零。但若能量为零，则动量必须为零，于是动量的不确定度 就不存在，根据不确定度关系，这只有 才有可能。实际上，粒子处于势阱中，它的 为势阱的宽度所限制，从而导致最小能量的出现。这种最小能量有时称为零点能。所以，零点能的存在与不确定度关系是协调一致的。许多实验证实了微观领域中能量量子化的分布规律，并证实了零点能的存在。
图13-27 势阱中的波函数和概率密度
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(3)图13-27给出了势阱中粒子的波函数 和粒子的概率密度 的分布曲线。从图中可以看出，粒子出现的概率是不均匀的。当 时，在 处粒子出现的概率最大；当 时，在 和 处概率最大；等等。概率密度的峰值个数和量子数 相等，这又和经典概念是很不同的。若是经典粒子，因为在势阱内不受力，粒子在两阱壁间作匀速直线运动，所以粒子出现的概率处处一样；对于微观粒子，只有当 时，粒子出现的概率才是均匀的。
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（阱内）
,
(阱外)
，定态薛定谔方程为 
,及
，及
,
,
,
，而
。所以 
，
，说明不存在这种状态。所以
，
）对不同能量的粒子对应的波均为波节，粒子出现的概率为零。
,
时，无论从经典理论或量子力学来看，粒子都可以穿过区域Ⅱ到达区域Ⅲ，不同的是，从量子力学观点来看，考虑到微观粒子的波动性，粒子在分界面处还有反射，故在区域Ⅰ有入射波和反射波；在区域Ⅱ有透射波，其强度将随着势垒深度的增加而不断减弱，但只要势垒宽度
时，从经典理论来看，由于粒子动能必须为正值，故不可能进入区域Ⅱ，将被全部弹回来。但从量子力学来分析，粒子仍可以穿过区域Ⅱ而进入区域Ⅲ。大量事实证明，量子力学的结论是正确的，下面作简单说明。
，以一定的能量
不显含时间，所以也是个定态问题。
，薛定谔方程为
，薛定谔方程为
，薛定谔方程为
，
，这样
为实数。将
和
。
再由波函数的单值、连续条件：
，
，
，
，
可以求得其他五个积分常数，从而得到粒子在这三个区域中的波函数。图13-30表示粒子在三个区域中波函数的情况。
处透射波的“强度”(模的平方)与入射波“强度”之比，
即
是一常量，则这种体系称为线性谐振子或一维谐振子。式中
是振子离开平衡位置的位移。此时定态薛定谔方程可表示为
（
,
）
，如图13-31所示。
应该指出，普朗克在推导黑体辐射公式时，假定频率为
的谐振子只能处于能量为
（n＝1，2，…）的状态。而从量子力学得到谐振子的最小能量并不为零，而是
，这也是我们已经提到的零点能。这个和早期量子理论不同的结论，实际上是微观粒子波动性的本质表现。零点能的存在已为